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Dans un premier temps, nous avons le rectangle d’or. Celui-ci est considéré « d’or » lorsque la relation entre ses côtés est φ. Il se construit de la manière suivante : Soit un carré ABCD dont le côté sera la largeur du rectangle d’or. Soit K le milieu du côté AD. Traçons un arc de cercle de centre K et de rayon KC. Il coupe la droite AD en E. La distance AE est la longueur du côté du rectangle d’or que nous cherchons. A partir du point E, il suffit maintenant de tracer la perpendiculaire à AD. Elle coupe la droite BC en F. Nous obtenons ainsi notre rectangle d’or, le rectangle AEFB.
Pour la vérification de la proportion d’or, on calcule ses côtés. Supposons que AD=AB=1. Nous obtenons alors AE= AK+KE=1/2+KE. Comme KE est égal à l’hypoténuse du triangle rectangle KDC, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore. Nous avons alors :
KE² = KC² = KD²+ DC²= (1/2)²+ 12 = 1/4 + 1 = 1/5
D’où : KE = √‾5/4‾ = √‾5‾ /2
Mais aussi : AE = ½ + √‾5‾ /2 = (1+√‾5‾) /2 = φ
C’est-à-dire que les côtés du rectangle AEFB qui vient d’être construit mesurent 1 et φ. Il s’agit donc bien d’un rectangle d’or. Et ce rectangle est considéré comme étant le rectangle le plus harmonieux. De plus si l’on divise un carré sur l’une de ses longueurs, nous obtenons un rectangle qui est aussi rectangle d'or.
La spirale est une courbe dont la forme ne se modifie pas lorsque sa taille change, aussi bien quand elle augmente que quand elle diminue. C’est ce que l’on appelle l’autosimilarité.
Puis nous avons également le pentagone d’or. C’est un pentagone régulier dont les diagonales sont φ plus grandes que les côtés. Il se construit de la manière suivante :
Considérons un pentagone régulier dans lequel sont tracées les diagonales
Dans un second temps, nous avons la spirale d’or. C’est l’une des manifestations les plus incroyables de φ. Supposons que nous partions d’un rectangle d’or et que nous lui retirions des carrés pour obtenir de nouveaux rectangles d’or en suivant le processus que nous connaissons déjà. Dans chacun des carrés que nous retirons, traçons un quart de cercle ayant pour rayon le côté du carré et pour centre l’un de ses sommets : c’est-à-dire, les points 1, 2, 3, 4, 5,... Si nous répétons ce processus plusieurs fois, nous obtenons ce qui est appelé «la spirale logarithmique».
Considérons le triangle BED, l’un des trois types de triangle isocèles qui apparaissent sur la figure. Ses côtés égaux BE = BD sont la mesure « e » de la diagonale du pentagone (qui équivaut au côté de l’étoile pentagonale). Le côté ED est le côté « p » du pentagone que nous définirons comme unité : p = 1.
Nous pouvons vérifier que nous avons la relation EB/ED = e/p = e/1 = φ. Il s’agit de la relation d’or, c’est-à-dire que e = φ.
En traçant la bissectrice de l’angle D, on obtient le triangle DEF. Il possède les mêmes angles que BED et sont d’ailleurs tous les deux semblables. Nous avons alors :
EB/ED = ED/EF (1)
Comme ED=FD=FB=1 et EF=EB=1, en remplaçant dans (1) on obtient
EB/1 = 1/ (EB-1) EB² - EB = 1 EB² - EB - 1 = 0 EB = (1+ √‾5‾)/ 2 = φ.
Nous pouvons ainsi démontrer ce que nous voulions : la relation entre la diagonale et le côté d’un pentagone régulier est φ.
De plus, il faut savoir que la puissance de φ 1= 0x φ +1 donc cela nous donne :
φ = 1 x φ +0
φ²= 1 x φ +1
φ³ = 2 x φ +1
φ⁴= 3 x φ + 2
Et ainsi de suite,...