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Léonard Pisano dit Fibonacci (1175-1250) est un mathématicien italien connu pour avoir établi une suite, La Suite de Fibonacci. En effet, celle-ci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Ainsi 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8,...Ses premiers termes sont : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Cette suite est particulièrement liée au nombre d’or, φ. Ce nombre intervient dans l'expression du terme général de la suite. Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des réduites de l'expression de φ en fraction continue : les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci permettent de trouver de très bonnes approximations de φ. Le rapport de 2 nombres consécutifs de la suite de Fibonacci se rapproche de φ, et plus on va loin dans la suite plus la précision est bonne. La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. L’une d’entre elles est que le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d’or, un nombre remarquable qui vaut exactement 1.61803398…
En effet : 13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538…; 34/21 = 1.61904…et ainsi de suite, car plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l’écart est moins important, et plus le rapport des deux nombres successifs (le plus grand / le plus petit) tend vers la valeur du nombre d’or 1,61803.
De plus, pour résoudre le fameux problème suivant « combien de couples de lapins aurons-nous à la fin de l’année si nous commençons avec un couple qui engendre chaque mois un autre couple qui procrée à son tour au bout de deux mois de vie ? », Fibonacci créa une table, dans laquelle il y décomposait la croissance de sa famille de lapins et fit un suivi du nombre de couples qu’il avait à la fin de chaque mois. On remarque alors que chaque somme des nombres précédents correspond au nombre qui le suit.
Par ailleurs, La fractale du mot de Fibonacci est une courbe plane fractale définie à partir du mot de Fibonacci. Celle-ci se construit de la manière suivante : Pour chaque chiffre en position k :
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si le chiffre est 1 : tracer un segment de longueur 1 dans la direction précédente
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si le chiffre est 0, tracer un segment de longueur 1 après avoir fait un quart de tour:
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à droite si k est pair
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à gauche si k est impair
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À un mot de Fibonacci de longueur Fn est donc associée une courbe formée de Fn segments. La courbe se présente sous trois aspects différents suivant que n est de la forme 3k, 3k+1, ou 3k+2.
De surcroît, ces fractales nous entourent de partout, de par la nature par exemple (la forme des branches d’un arbre, la disposition des feuilles, les fougères, les paumes de la main, l’architecture de nos poumons, nos vaisseaux sanguins, la formation des vagues dans l’océan, les tsunamis, les flocons de neige, la forme des coquillages, la réplication de certains virus, etc.,...). Donc avec la Suite de Fibonacci, on peut dire que les fractales sont le plan de construction de la nature et de tout l’univers.
L’auto-similarité est le caractère d'un objet dans laquelle on peut trouver des similarités en l'observant à différentes échelles. Généralement, les structures fractales sont construites de manière à suivre un mécanisme de répétition infini et c'est la raison pour laquelle on retrouve des détails identiques ou similaires à chaque répétition. En effet, dans de nombreuses fractales, nous pouvons observer uniquement une similarité des détails, qui ne sont pas toujours totalement identiques.
